lunes, 23 de julio de 2007

Resolución de problemas matemáticos: Polya

Entramos poco a poco en el modo vacaciones. Cada vez nos cuesta más meter entradas en el blog, pero espero que recuperemos el ritmo en septiembre.
En la misma línea que la entrada anterior, voy a a añadir consejos sobre el método de resolución de problemas matemáticos. Concretamente consejos de Polya, el famoso matemático y sobre divulgador y profesor, preocupado por cómo se debe enseñar la matemática. A mi me gusta bastante una frase suya, como respuesta ala pregunta de por qué quiso ser matemático:
No era lo suficientemente inteligente para ser físico, y demasiado para ser filósofo, así que elegí matemáticas, que es una cosa intermedia.
Je, muy buena definición.

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

  • Comprender el problema (identificar el objetivo)
El primer paso debe ser leer cuidadosamente el problema. Asegúrate de que lo entiendes con claridad y de que no se te escapa ningún detalle. Házte a ti mismo estas preguntas:
    • ¿Cuáles son las incógnitas?
    • ¿Qué datos nos dan?
    • ¿Qué relaciones existen?
    • ¿Qué condiciones nos imponen?
En muchos problemas es útil dibujar un diagrama o un esquema, e identificar en él los datos e incógnitas del problema. Usualmente también es necesario introducir la notación adecuada.
En la elección de símbolos para las incógnitas a menudo usamos letras como a, b, c, x e y; pero en muchos casos ayuda usar iniciales como V para el volumen o t para el tiempo. Usa marcas (primas, barras, ...), subíndices o superíndices cuando sea necesario, pero intenta no recargar la notación.
  • Traza un Plan (una estrategia de trabajo)
Para calcular la incógnita debes encontrar una conexión entre la información que se te ofrece y aquello que se te pregunta. A menudo te ayudará preguntarte explícitamente: “¿Cómo puedo relacionar los datos y la incógnita?”. Si no ves un conexión inmediatamente, las siguientes ideas pueden ayudarte a trazar un plan:

    • Establece objetivos parciales (divide el problema en subproblemas)
En un problema complejo suele ser de gran ayuda dividirlo en problemas más pequeños. Si podemos resolver objetivos parciales tal vez seamos capaces de llegar, a través de ellos, a la solución completa.
    • Intenta reconocer algo familiar.
Busca alguna relación entre la situación que se te plantea y tu conocimiento anterior. Intenta recordar un problema conocido con incógnitas o datos parecidos o que involucre una idea similar.
    • Mira si existe un patrón en el problema.
Algunos problemas quedan resueltos cuando identificamos en él un patrón que se repite. El patrón puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si puedes distinguir alguna regularidad o repetición en el problema, tal vez sea esa la clave de su resolución. (Si haces muchos problemas desarrollarás tu capacidad para reconocer patrones).
    • Usa analogías.
Intenta pensar en un problema similar que esté relacionado con el que tienes que resolver pero que tenga una solución más simple. Un problema sencillo pero similar puede darte pistas para llegar a la solución final. Si tu problema es de tipo general, intenta en primer lugar un caso particular. (Hay que hacer cuantos más problemas, mejor. Así tendrás una buena base para encontrar analogías).
    • Introduce algo extra.
En ocasiones puede ser necesario introducir algo nuevo, una ayuda auxiliar, que facilite encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. Por ejemplo, en un problema geométrico puede ayudar trazar líneas adicionales o en un problema algebraico introducir una nueva variable relacionada con la incógnita.
    • Separa en casos.
A veces un problema puede ser troceado en varios casos, de forma que sea sencillo encontrar una solución diferente para cada caso. Por ejemplo, separar entre valores positivos y negativos o entre valores enteros y decimales. Si haces esto, cuida de no dejar por estudiar ninguna posibilidad (por ejemplo, el valor cero).
    • Trabaja hacia atrás (asume que la respuesta ya la conoces).
A menudo es útil imaginar que ya ha sido resuelto el problema y, a partir de la solución, ir pensando hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos originales. Entonces bastará recorrer la secuencia de pasos al contrario para ir de los datos a la solución.
    • Razonamiento indirecto.
Hay otros casos en los que resulta apropiado cambiar de estrategia. Por ejemplo, intentar resolver algebraicamente un problema geométrico o al revés. También puede ser interesante el método de reducción al absurdo: Si quieres probar que P implica Q, podrías intentar probar que es imposible que se dé al mismo tiempo que P es cierto y Q falso.

  • Llevar a cabo el Plan
Una vez trazado el plan, hay que ponerlo en práctica. Al llevarlo a cabo debe chequearse cada paso y escribir los detalles que lo hacen correcto. Una ristra de ecuaciones no es suficiente, comenta lo que haces y por qué lo haces. Procura además escribir con orden y claridad, poniendo apartados y observaciones si eso hace más comprensible tu trabajo. Puede ser útil numerar las ecuaciones intermedias o poner marcas (asteriscos, etc.). Cuando llegues a la solución destácala (encuadrándola por ejemplo).

  • Mirar hacia atrás (comprobaciones finales)
Debes ser meticuloso con tus resultados, buscando posibles errores (inconsistencias, ambigüedades, incorrecciones) en tus soluciones. Tú mismo debes ser tu crítico más duro. En la medida de lo posible deberías chequear el resultado. Aquí tienes una lista de posibilidades:
  • ¿Existe un método de resolución alternativo que dé al menos una respuesta parcial?
  • Intenta una aproximación similar para algún problema parecido aunque sea más simple.
  • Comprueba los signos y las unidades (dos veces mejor que una sola).
  • Si la respuesta fue numérica, ¿es razonable el orden de magnitud?
  • ¿Varía la respuesta numérica de la forma esperable si cambias uno o más parámetros?
  • Chequea los casos límite en los que la respuesta sea fácil o conocida.
  • Chequea los casos especiales en los que la respuesta tenga alguna peculiaridad.
  • Comprueba si tu solución refleja las posibles simetrías del problema.
  • Haz algún experimento (mental, al menos) para ver que la respuesta tiene sentido.

miércoles, 11 de julio de 2007

Métodos de estudio y la Física o las Matemáticas


Es evidente que los métodos de estudio tradicionales no sirven para estudiar asignaturas de la carrera de Física o de Matemáticas. Hay poco que memorizar (no siempre, pero bueno), se suelen hacer los exámenes con libros o incluso todo tipo de material, o los profesores añaden un "chuletario" al examen, o incluso te dejan varios días para resolver el examen.
El proceso de asimilar una asignatura incluye una parte de comprensión. Yo no he podido memorizar nunca nada que no comprendía.
Hay varios métodos para estudiar Física o matemáticas que son bastante razonables. Evidentemente no aportan nada nuevo, como ningún método de ésta índole, pero ayudan a organizarse y quizás nos puedan dar un punto de vista curioso.
Es evidente que todos los procedimientos deben contemplar los problemas. El objetivo final es resolver problemas, y de ésta manera se van asimilando los conocimientos. Una vez se controla cierto campo, o asignatura, sin necesidad de hacer ecuaciones o resolver con lápiz y papel se pueden hacer muchas cosas. En ese momento se ha asimilado realmente el conocimiento y es dónde empieza la "magia" de la Física. La intuición matemática no es un sexto sentido extraño, es el resultado de comprender y asimilar conocimiento profundo de la estructura matemática subyacente. ¡Toma ya!
Normalmente los métodos propuestos incluyen un repaso general de cada tema, análisis de los problemas (para ver qué conceptos son importantes, qué se necesita saber, cómo se pregunta), repaso más profundo y realización de los problemas. Es evidente que resolviendo problemas se consigue asimilar mucho mejor los conocimientos, sirve de "gimnasia" mental. Aunque se tarde mucho en resolver un problema, no conviene mirar el resultado, sino insistir, hasta coger soltura. Yo lo veo como si estuviese pintando, una primera capa sólo deja trazas, a cada mano vamos mejorando el acabado, cada pasada por el mismo sitio mejora...
Un clásico es el How to Study Physics publicado por el Learning Skill Center de la University of Texas at Austin, del que hay una versión en español, y una buena adaptación y actualización aquí, así como un documento en formato Word. En español hay una versión en pdf en éste enlace.
Os pongo un extracto:
Sugerencias para la lectura de textos de física:
a) Utiliza la prelectura que se explicó para antes de clase. Da un vistazo rápido a los puntos fundamentales del capítulo.
b) Lee primero los problemas propuestos para casa. Intenta identificar los puntos clave y principios fundamentales que hay que aplicar.
c) Lee ACTIVAMENTE, con preguntas en mente e intentando comprender. Una lectura pasiva de física es una pérdida de tiempo. Lee con papel y lápiz para poder escribir
preguntas y anotaciones. Si piensas que no estás leyendo activamente, intenta volver a mirar los problemas y los apuntes de clase. Lee para aprender, no para cubrir materia.
d) Para de vez en cuando para intentar recordar lo que has leído.
e) Durante la lectura, notarás que ciertas secciones, ecuaciones o ideas se pueden aplicar directamente a los problemas propuestos. Después de leer esas secciones, para y analiza su aplicación al problema. Esto es mucho más productivo que una simple lectura o memorización, por muy cuidadosa que sea. La lectura pasiva consiste simplemente en seguir la cadena de pensamientos del texto. La lectura activa significa también explorar las posibilidades y aplicaciones de lo que se está estudiando, con lo cual se consiguen:
• una mejora de la concentración al leer,
• mejora de la habilidad para memorizar,
• mejora de la habilidad para aplicar el material.

lunes, 9 de julio de 2007

Nanodunas

A raíz del post de Falevian sobre la Física a diferentes escalas, aprovecho para comentaros un artículo que he publicado en la revista española de Física, en la sección Física y Computación, sobre la Física de la formación de dunas por erosión iónica.

En la figura de la derecha se muestran dos sistemas formados por dunas, uno se trata de dunas de arena en el desierto (figura superior) y la otra de dunas firmadas sobre vidrio. Lo interesante de la analogía es que en el primer caso, las dunas tienen una anchura de varios centímetros, mientras que en las segundas apenas tienen unos pocos nanómetros (o sea que son más de 10 millones de veces más pequeñas). En el primero caso es el viento el agente erosivo y en el segundo el impacto de iones energéticos que impactan violentamente contra el vidrio.

En el artículo se discute un modelo teórico que explica las causas últimas de la formación de estas dunas y se resuelve con ayuda de un ordenador las ecuaciones.




Es interesante notar un caso que no se presenta en el caso de la arena, ¿qué pasa si el agente motor (en este caso los iones) incide perpendicularmente a la superficie de vidrio? En este caso no se forman dunas sino pequeños "puntos" (conocidos en la literatura científica como "nanodots"). En la figura de la izquierda se muestra la comparación entre la predicción del modelo teórico (la figura b1 y b2) y los resultados de experimentos realizados por los mismos autores (la a1 y la a2). Bonito, ¿verdad?






En la página de Javier Muñoz, uno de mis colaboradores, podéis encontrar más información, como por ejemplo este vídeo ...


miércoles, 4 de julio de 2007

Plantas que atraen la electricidad, ¡uuuh! ¡qué miedo!

Extracto de una noticia de "El Pais":
Detectados casos de lipoatrofia en la nueva sede de Telefónica en Madrid
[...]
la empresa ya había tomado medidas[...]Entre esas medidas está la de aumentar la humedad por encima del 40% en todos los edificios del Distrito C[...]
Entre ellas, poner tiras de poliuretano en las partes metálicas de las mesas, poner una toma a tierra desde la parte metálica de las mesas, aumentar la humedad relativa hasta el 50%, cambiar las sillas de trabajo por unas preparadas para la electricidad estática y poner cactus y otras plantas que atraen la electricidad.[...]

Con dos cojones. Los cactus atraen la electricidad. Esto no es nuevo, se lo cree mucha gente. Yo había oído otra versión, pero supongo que en el maravilloso mundo de "mientras use palabrejas tecnicas y ponga cara de saber que digo, todo vale: el traje del emperador es precioso". Lo que se dice es que poniendo un cactus cerca de un monitor de ordenador, se absorben las radiaciones malas. Debe ser que curva el espacio tiempo, diferencia la radiación electromagnética visible de la "maligna", absorbe la maligna, y deja que la luz "buena" siga en línea recta, como suele hacer en la naturaleza.
Supongo que será porque tienen pinchitos y se parecen a pequeños pararrallitos. Me recuerda a una historia que contaba Feynman, a propósito de la pseudociencia (en el libro "¿Está usted de broma señor Feynman?"):
"Hay en los Mares del Sur gentes que adoran a los aviones de carga. Durante la guerra mundial vieron cómo los aviones de transporte aterrizaban en sus islas, cargados de magníficos materiales, y quieren que ahora ocurra otro tanto. Y han preparado pistas de aterrizaje con hogueras señalizadoras a los lados; han construido cabañas de madera que remedan la torre de control, en la que se sienta un hombre -el controlador de vuelo- con unas piezas de madera en la cabeza -los auriculares- y de la que sobresalen largas varas de bambú -las antenas- con la esperanza de atraer otra vez a los aeroplanos. Se están esmerando. La forma es perfecta. Todo tiene el mismo aspecto que tenía antes. Pero no funciona. Los aviones no aterrizan."

Las plantas no atraen la electricidad. Eso es absurdo. Quizás pueda que ayuden a controlar la humedad, y por lo tanto faciliten que no aparezca la electricidad estática, pero no atraen a la electricidad. ¿Cómo se supone que lo hacen? ¿Crean un campo electromagnético a su alrededor?
Aquí hay varios errores de base, supongo que la gente piensa que la electricidad es algo que flota o que se mueve por el aire. No deben conocer los cables de corriente y los enchufes. A lo mejor se confunde al ver que los rayos van del cielo a la tierra, y piensan que hay rayos invisibles pululando en los edificios inteligentes.
Aún suponiendo que realmente se refieran a ondas electromagnéticas (luz, calor, etc.) y suponiendo que un cactus pueda aborber esa radiación, debería ser un cactus enorme, y habría que ponerlo delante del monitor.
En resumen, la electricidad estática cirula por el aire, a pesar de que el efeco de ésta enfermedad se produce a unos 70 cm del suelo (bajo el cual circula electricidad de los cables eléctricos y las redes de comunicaciones), poniendo un cactus encima de la mesa, se desvía la electricidad, que se ve atraída (textualmente) por el cactus y éste la absorbe. ¡Por favor!, ¡pensemos un poco, que no duele!
Seguro que parte del problema está en que la idea es muy bonita. La naturaleza es buena, por definición, por eso nos protege de las radiaciones artificiales malignas. Esto es parte de lo que tenemos en mente, gracias sobre todo a la publicidad. Pues la electricidad está en la naturaleza, y la radiactividad. Los peores venenos que existen se dan en la naturaleza, y los cactus no atraen a a la electricidad.


Propongo un experimento. Podemos disparar dos haces láser cerca de un cactus y ver cómo influyen en la desviación de los haces la presencia de ese cactus. El efecto debería ser a distancia, no vale poner el cactus en medio del haz de luz. En éste caso se puede probar su efecto sobre la radiación electromagnéticca, pero también hay que probarlo sobre la electricidad. Para poder enviar electrcidad de un pnto a otro sin usar cables y sin contacto, podemos usar un generador de Van der Graaf, que genera electricidad estática con una gran diferencia de potencial, sin riesgo para la salud. Se pone un cactus cerca, y se observa cómo se atrae la electricidad.

El Cubo de Rubik en 26 movimientos


Mediante un superordenador, de nuevo basado en el cálculo distribuído ( el Teragrid), Cooperman y Kunkle de la Northeastern University localizan una manera de hacer el cubo de Rubik en menos de 26 movimientos desde cualquier posible estado de origen. Para ello usan teoría de grupos y muchísimos cálculos y RAM.
Según dice, tras un pre-calculo bastante pesado, proporcionan un posible estado al ordenador, y resuelve, en pocos segundos, los 26 movimientos necesarios para resolverlo.

martes, 3 de julio de 2007

De lo más pequeño a lo más grande

Uso este manido título porque realmente es lo que está sucediendo ahora. Para estudiar el origen del universo, los procesos que tuvieron lugar cerca del BigBang, cómo se formaron las grandes estructuras del universo; es necesario conocer cada vez más cosas sobre cómo funcionan las partículas.

Conociendo parámetros concretos de energías, masas, procesos de desintegración o creación, etc podemos deducir cómo serían los universos según los diferentes modelos a gran escala, y de ahí comparar con lo que estamos observando y deducir si el modelo es incorrecto. Por ejemplo, si usando un determinado modelo, y usando o que sabemos osbre las partículas, deducimos una tasa de nucleosíntesis (o la proporción entre protones y neutrones, por ejemplo), y lo que se deduce no se corresponde con lo observado, sabremos que el modelo es erróneo.
Cada vez recogemos más información del universo usando partículas, o haces de fotones resultado de ciertos procesos que se producen en el nivel fundamental, por lo que debemos conocer muy bien cómo se producen esos fenómenos. Otro caso parecido es el estudio de las ondas gravitacionales, la búsqueda de materia oscura, etc.
Por eso se dice que muchas veces se estudia el origen del universo en los aceleradores de partículas.
¿Qué se está haciendo en Europa? He encontrado un sitio de éstos de Web2.0, en el que se pretende hacer ciencia colaborativa. Se ponen a disposición de los miembros de los grupos particippntes herramientas de videoconferencia, documentos, etc.
De uno de esos documentos, bastante interesante, he sacado el mapa d elo que intersa ahora mismo en Europa respecto a partículas, cosmología y astrofísica:


Lo interesante del documento, es que repasa lo que se está investigando, en qué situación está la comunidad científica, cuánto sabemos de cada rama y qué se está haciendo para saber más. Es un resumen bastante interesante.
Por ejemplo, en la búsqueda de materia oscura quieren montar un par de detectores. En el análisis del proceso de decaimiento del protón y su relación con el neutrino también...
Otro tipo de investigación es lo que se puede deducir del momento multipolar de la radiación de fondo. de la que ya hablamos.



lunes, 2 de julio de 2007

Simetrías y conservación: Powerballs, bicicletas y el momento angular


Gracias al teorema de Noether, tenemos una relación bellísima en la Física. De forma sencilla, e imprecisa, el teorema dice que siempre que podamos encontrar una simetría, hay un ley de conservación de una magnitud. ¡Alucinante! ¡Increíble! No se trata sólo de simetrías geométricas. Se trata de que cuando encontremos una transformación en la que haya una invariancia, podremos encontrar una ley de conservación de una magnitud física. Lo repito porque se trata de un teorema precioso, elegante y que supuso una revolución en la forma de hacer física.
En el caso que nos ocupa, tratando una rueda de bicicleta o una PowerBall, como tenemos simetría respecto al giro alrededor de un eje, aparece una ley de conservación del momento angular.
Al hacer girar la rueda de bicicleta, el momento angular se conserva. Que se conserve quiere decir que se mantiene tanto la intensidad como la dirección (el momento angular es un vector). Como el momento angular está relacionado con el eje de giro, si se intenta girar la rueda, aparecerá una tendencia a mantener ese eje de giro. El resultado es que es muy fácil carse en una bicicleta que está parada, y en una bicicleta en movimiento es bastante dificil (aunque se puede, claro, también en un triciclo). De hecho, este mismo efecto se usa para girar con la bici. Si queremos ir hacia la derecha, bsta inclinar la bicicleta, sin girar el manillar. Esto hace que la bicileta tienda a corregir esa variación del momento angular, y se mueve en la dirección deseada. Con las motos es aún más sencillo
En el caso del Powerball, ese efecto se usa para, supuestamente, fortalecer los músculos de la mano y del brazo. Al girar la esfera interna a mucha velocidad (el momento angular depende de la velocidad angular de giro), cualquier intento de cambiar ese momento angular hace que aparezca una resistencia. Y es lo que la gente dice, estúpidamente: "Aumenta el peso de la bola":
[...]
todo el ejercicio que no puedes hacer por estar trabajando (Ideal para el trabajo). Este magnifico aparato puede llegar a alcanzar un peso de 15 kilos.

[...]
Y que tiene de diferente la powerball de las pesas? Pues que la powerball en vez de funcionar con peso, funciona con fuerza centrifuga... Einnn¿? Es decir, que la fuerza de la bola dependerá, de la fuerza que apliques tu al usarla, ya que según la fuerza, el peso puede llegar a alcanzar los 18 kilos...